Abril

Martes 19 de abril del 2016 - Clase # 1

• Indicaciones Generales
• Geometría analítica

• Representación de conjuntos 

                   A= {1 ,2 ,3}; B= {1 ,2}

-          Por comprensión:

AXB = {(X, Y) ϵ R2 / x ϵA y y ϵ B}

-          Por tabulación

AXB = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}

• Diferencia entre circulo y circunferencia

Jueves 19 de abril del 2016 - Clase # 2

FUNCIONES IMPLÍCITAS

-          En R2

F(x,y)=0

G(x,y)=0

Cada una de las funciones implícitas representa una curva, por tanto, la solución del sistema será uno o más puntos.

-          EN R3

R3 F(X,Y,Z) = 0       Función implícita de 3 variables

x = f(y,z) --- x: valor dependiente;  y,z: variables independientes.

y = g(x,z) --- y: valor dependiente; x,z variables independientes.

z = h(x,y) --- z: valor dependiente; x,y: variables independientes.

Geométricamente las funciones implícitas representan una superficie en el espacio.

Casos Particulares

Si f(x,y) =  0 →  Superficie cilíndrica de generatriz paralela al eje oz

Si g(x,y) = 0 →  Superficie cilíndrica de generatriz paralela al eje oy

Si h(x,y) = 0 →  Superficie cilíndrica de generatriz paralela al eje ox

LA RECTA EN EL ESPACIO

Ecuaciones de la recta

-          Dado un punto y un vector director

La recta en el espacio queda determinada por un punto A ( x1, y1, z1)   y un vector director  ȗ = ( a, b, c)

-          Dados 2 puntos

La recta en el espacio queda determinada por dos puntos A ( x1, y1, z1) y B ( x2, y2, z2) 

Martes 26 de abril del 2016 - Clase # 3

EL PLANO EN EL ESPACIO

Ecuaciones del plano

-          Dado un punto y un vector normal del plano

Ecuación vectorial

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.

Para que el punto P pertenezca al plano π el vector PX tiene que ser coplanario con vector u y v.

 

Ecuación general o implícita del plano

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Ecuaciones Incompletas del Plano

Ec. del Plano con generatriz paralela al eje OZ

1) Si C=0

    Ax + By + D = 0

    F(x,y) = 0

Ec. del Plano con generatriz paralela al eje OZ y que contiene al eje OZ

2) Si C=0 y D=0

    Ax + By = 0

  

Ec. del plano con generatriz paralela a los ejes OY y OZ

3) Si B=0, C=0

    Ax + D = 0

  x=-D/A; y= -D/B; z=-D/C

Jueves 28 de abril del 2016 - Clase # 3

Normalización de la ecuación general del plano

Para normalizar la ecuación del plano se hace uso de un factor normalizante: µ

Partiendo desde la Ec. General: Ax+By+Cz+D=0 y la Ec. Normal: 0= xcosα + ycosβ + zcosγ – p. Llegaremos a la siguiente expresión:

El signo del F.N. debe ser contrario al signo del término independiente D de la ecuación.

Desviación de un punto respecto a un plano

-          D(+) cuando el punto y el origen están en lados opuestos con respecto al plano.

-          D(-) cuando el punto y el origen están en el mismo lado con respecto al plano.

Distancia de un Punto en un Plano

La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de la distancia desde el punto a los infin

itos puntos del plano. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano.

-          Plano Determinado por 3 puntos

Ecuación del plano dado 3 puntos: (r-r1)*(r2-r1)x(r3-r1)=0

Producto punto: (r-r1)*(r2-r1)

Producto cruz: (r2-r1)x(r3-r1)

 Si el producto mixto es igual a cero, los vectores son coplanares.

El producto mixto geométricamente representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son 3 vectores.